source: trunk/libs/newlib/src/newlib/libm/math/s_erf.c @ 543

Last change on this file since 543 was 444, checked in by satin@…, 6 years ago

add newlib,libalmos-mkh, restructure shared_syscalls.h and mini-libc
File size: 12.1 KB
Line 
1
2/* @(#)s_erf.c 5.1 93/09/24 */
3/*
4 * ====================================================
5 * Copyright (C) 1993 by Sun Microsystems, Inc. All rights reserved.
6 *
7 * Developed at SunPro, a Sun Microsystems, Inc. business.
8 * Permission to use, copy, modify, and distribute this
9 * software is freely granted, provided that this notice
10 * is preserved.
11 * ====================================================
12 */
13
14/*
15FUNCTION
16        <<erf>>, <<erff>>, <<erfc>>, <<erfcf>>---error function
17INDEX
18        erf
19INDEX
20        erff
21INDEX
22        erfc
23INDEX
24        erfcf
25
26SYNOPSIS
27        #include <math.h>
28        double erf(double <[x]>);
29        float erff(float <[x]>);
30        double erfc(double <[x]>);
31        float erfcf(float <[x]>);
32
33DESCRIPTION
34        <<erf>> calculates an approximation to the ``error function'',
35        which estimates the probability that an observation will fall within
36        <[x]> standard deviations of the mean (assuming a normal
37        distribution).
38        @tex
39        The error function is defined as
40        $${2\over\sqrt\pi}\times\int_0^x e^{-t^2}dt$$
41         @end tex
42
43        <<erfc>> calculates the complementary probability; that is,
44        <<erfc(<[x]>)>> is <<1 - erf(<[x]>)>>.  <<erfc>> is computed directly,
45        so that you can use it to avoid the loss of precision that would
46        result from subtracting large probabilities (on large <[x]>) from 1.
47
48        <<erff>> and <<erfcf>> differ from <<erf>> and <<erfc>> only in the
49        argument and result types.
50
51RETURNS
52        For positive arguments, <<erf>> and all its variants return a
53        probability---a number between 0 and 1.
54
55PORTABILITY
56        None of the variants of <<erf>> are ANSI C.
57*/
58
59/* double erf(double x)
60 * double erfc(double x)
61 *                           x
62 *                    2      |\
63 *     erf(x)  =  ---------  | exp(-t*t)dt
64 *                 sqrt(pi) \|
65 *                           0
66 *
67 *     erfc(x) =  1-erf(x)
68 *  Note that
69 *              erf(-x) = -erf(x)
70 *              erfc(-x) = 2 - erfc(x)
71 *
72 * Method:
73 *      1. For |x| in [0, 0.84375]
74 *          erf(x)  = x + x*R(x^2)
75 *          erfc(x) = 1 - erf(x)           if x in [-.84375,0.25]
76 *                  = 0.5 + ((0.5-x)-x*R)  if x in [0.25,0.84375]
77 *         where R = P/Q where P is an odd poly of degree 8 and
78 *         Q is an odd poly of degree 10.
79 *                                               -57.90
80 *                      | R - (erf(x)-x)/x | <= 2
81 *     
82 *
83 *         Remark. The formula is derived by noting
84 *          erf(x) = (2/sqrt(pi))*(x - x^3/3 + x^5/10 - x^7/42 + ....)
85 *         and that
86 *          2/sqrt(pi) = 1.128379167095512573896158903121545171688
87 *         is close to one. The interval is chosen because the fix
88 *         point of erf(x) is near 0.6174 (i.e., erf(x)=x when x is
89 *         near 0.6174), and by some experiment, 0.84375 is chosen to
90 *         guarantee the error is less than one ulp for erf.
91 *
92 *      2. For |x| in [0.84375,1.25], let s = |x| - 1, and
93 *         c = 0.84506291151 rounded to single (24 bits)
94 *              erf(x)  = sign(x) * (c  + P1(s)/Q1(s))
95 *              erfc(x) = (1-c)  - P1(s)/Q1(s) if x > 0
96 *                        1+(c+P1(s)/Q1(s))    if x < 0
97 *              |P1/Q1 - (erf(|x|)-c)| <= 2**-59.06
98 *         Remark: here we use the taylor series expansion at x=1.
99 *              erf(1+s) = erf(1) + s*Poly(s)
100 *                       = 0.845.. + P1(s)/Q1(s)
101 *         That is, we use rational approximation to approximate
102 *                      erf(1+s) - (c = (single)0.84506291151)
103 *         Note that |P1/Q1|< 0.078 for x in [0.84375,1.25]
104 *         where
105 *              P1(s) = degree 6 poly in s
106 *              Q1(s) = degree 6 poly in s
107 *
108 *      3. For x in [1.25,1/0.35(~2.857143)],
109 *              erfc(x) = (1/x)*exp(-x*x-0.5625+R1/S1)
110 *              erf(x)  = 1 - erfc(x)
111 *         where
112 *              R1(z) = degree 7 poly in z, (z=1/x^2)
113 *              S1(z) = degree 8 poly in z
114 *
115 *      4. For x in [1/0.35,28]
116 *              erfc(x) = (1/x)*exp(-x*x-0.5625+R2/S2) if x > 0
117 *                      = 2.0 - (1/x)*exp(-x*x-0.5625+R2/S2) if -6<x<0
118 *                      = 2.0 - tiny            (if x <= -6)
119 *              erf(x)  = sign(x)*(1.0 - erfc(x)) if x < 6, else
120 *              erf(x)  = sign(x)*(1.0 - tiny)
121 *         where
122 *              R2(z) = degree 6 poly in z, (z=1/x^2)
123 *              S2(z) = degree 7 poly in z
124 *
125 *      Note1:
126 *         To compute exp(-x*x-0.5625+R/S), let s be a single
127 *         precision number and s := x; then
128 *              -x*x = -s*s + (s-x)*(s+x)
129 *              exp(-x*x-0.5626+R/S) =
130 *                      exp(-s*s-0.5625)*exp((s-x)*(s+x)+R/S);
131 *      Note2:
132 *         Here 4 and 5 make use of the asymptotic series
133 *                        exp(-x*x)
134 *              erfc(x) ~ ---------- * ( 1 + Poly(1/x^2) )
135 *                        x*sqrt(pi)
136 *         We use rational approximation to approximate
137 *              g(s)=f(1/x^2) = log(erfc(x)*x) - x*x + 0.5625
138 *         Here is the error bound for R1/S1 and R2/S2
139 *              |R1/S1 - f(x)|  < 2**(-62.57)
140 *              |R2/S2 - f(x)|  < 2**(-61.52)
141 *
142 *      5. For inf > x >= 28
143 *              erf(x)  = sign(x) *(1 - tiny)  (raise inexact)
144 *              erfc(x) = tiny*tiny (raise underflow) if x > 0
145 *                      = 2 - tiny if x<0
146 *
147 *      7. Special case:
148 *              erf(0)  = 0, erf(inf)  = 1, erf(-inf) = -1,
149 *              erfc(0) = 1, erfc(inf) = 0, erfc(-inf) = 2,
150 *              erfc/erf(NaN) is NaN
151 */
152
153
154#include "fdlibm.h"
155
156#ifndef _DOUBLE_IS_32BITS
157
158#ifdef __STDC__
159static const double
160#else
161static double
162#endif
163tiny        = 1e-300,
164half=  5.00000000000000000000e-01, /* 0x3FE00000, 0x00000000 */
165one =  1.00000000000000000000e+00, /* 0x3FF00000, 0x00000000 */
166two =  2.00000000000000000000e+00, /* 0x40000000, 0x00000000 */
167        /* c = (float)0.84506291151 */
168erx =  8.45062911510467529297e-01, /* 0x3FEB0AC1, 0x60000000 */
169/*
170 * Coefficients for approximation to  erf on [0,0.84375]
171 */
172efx =  1.28379167095512586316e-01, /* 0x3FC06EBA, 0x8214DB69 */
173efx8=  1.02703333676410069053e+00, /* 0x3FF06EBA, 0x8214DB69 */
174pp0  =  1.28379167095512558561e-01, /* 0x3FC06EBA, 0x8214DB68 */
175pp1  = -3.25042107247001499370e-01, /* 0xBFD4CD7D, 0x691CB913 */
176pp2  = -2.84817495755985104766e-02, /* 0xBF9D2A51, 0xDBD7194F */
177pp3  = -5.77027029648944159157e-03, /* 0xBF77A291, 0x236668E4 */
178pp4  = -2.37630166566501626084e-05, /* 0xBEF8EAD6, 0x120016AC */
179qq1  =  3.97917223959155352819e-01, /* 0x3FD97779, 0xCDDADC09 */
180qq2  =  6.50222499887672944485e-02, /* 0x3FB0A54C, 0x5536CEBA */
181qq3  =  5.08130628187576562776e-03, /* 0x3F74D022, 0xC4D36B0F */
182qq4  =  1.32494738004321644526e-04, /* 0x3F215DC9, 0x221C1A10 */
183qq5  = -3.96022827877536812320e-06, /* 0xBED09C43, 0x42A26120 */
184/*
185 * Coefficients for approximation to  erf  in [0.84375,1.25]
186 */
187pa0  = -2.36211856075265944077e-03, /* 0xBF6359B8, 0xBEF77538 */
188pa1  =  4.14856118683748331666e-01, /* 0x3FDA8D00, 0xAD92B34D */
189pa2  = -3.72207876035701323847e-01, /* 0xBFD7D240, 0xFBB8C3F1 */
190pa3  =  3.18346619901161753674e-01, /* 0x3FD45FCA, 0x805120E4 */
191pa4  = -1.10894694282396677476e-01, /* 0xBFBC6398, 0x3D3E28EC */
192pa5  =  3.54783043256182359371e-02, /* 0x3FA22A36, 0x599795EB */
193pa6  = -2.16637559486879084300e-03, /* 0xBF61BF38, 0x0A96073F */
194qa1  =  1.06420880400844228286e-01, /* 0x3FBB3E66, 0x18EEE323 */
195qa2  =  5.40397917702171048937e-01, /* 0x3FE14AF0, 0x92EB6F33 */
196qa3  =  7.18286544141962662868e-02, /* 0x3FB2635C, 0xD99FE9A7 */
197qa4  =  1.26171219808761642112e-01, /* 0x3FC02660, 0xE763351F */
198qa5  =  1.36370839120290507362e-02, /* 0x3F8BEDC2, 0x6B51DD1C */
199qa6  =  1.19844998467991074170e-02, /* 0x3F888B54, 0x5735151D */
200/*
201 * Coefficients for approximation to  erfc in [1.25,1/0.35]
202 */
203ra0  = -9.86494403484714822705e-03, /* 0xBF843412, 0x600D6435 */
204ra1  = -6.93858572707181764372e-01, /* 0xBFE63416, 0xE4BA7360 */
205ra2  = -1.05586262253232909814e+01, /* 0xC0251E04, 0x41B0E726 */
206ra3  = -6.23753324503260060396e+01, /* 0xC04F300A, 0xE4CBA38D */
207ra4  = -1.62396669462573470355e+02, /* 0xC0644CB1, 0x84282266 */
208ra5  = -1.84605092906711035994e+02, /* 0xC067135C, 0xEBCCABB2 */
209ra6  = -8.12874355063065934246e+01, /* 0xC0545265, 0x57E4D2F2 */
210ra7  = -9.81432934416914548592e+00, /* 0xC023A0EF, 0xC69AC25C */
211sa1  =  1.96512716674392571292e+01, /* 0x4033A6B9, 0xBD707687 */
212sa2  =  1.37657754143519042600e+02, /* 0x4061350C, 0x526AE721 */
213sa3  =  4.34565877475229228821e+02, /* 0x407B290D, 0xD58A1A71 */
214sa4  =  6.45387271733267880336e+02, /* 0x40842B19, 0x21EC2868 */
215sa5  =  4.29008140027567833386e+02, /* 0x407AD021, 0x57700314 */
216sa6  =  1.08635005541779435134e+02, /* 0x405B28A3, 0xEE48AE2C */
217sa7  =  6.57024977031928170135e+00, /* 0x401A47EF, 0x8E484A93 */
218sa8  = -6.04244152148580987438e-02, /* 0xBFAEEFF2, 0xEE749A62 */
219/*
220 * Coefficients for approximation to  erfc in [1/.35,28]
221 */
222rb0  = -9.86494292470009928597e-03, /* 0xBF843412, 0x39E86F4A */
223rb1  = -7.99283237680523006574e-01, /* 0xBFE993BA, 0x70C285DE */
224rb2  = -1.77579549177547519889e+01, /* 0xC031C209, 0x555F995A */
225rb3  = -1.60636384855821916062e+02, /* 0xC064145D, 0x43C5ED98 */
226rb4  = -6.37566443368389627722e+02, /* 0xC083EC88, 0x1375F228 */
227rb5  = -1.02509513161107724954e+03, /* 0xC0900461, 0x6A2E5992 */
228rb6  = -4.83519191608651397019e+02, /* 0xC07E384E, 0x9BDC383F */
229sb1  =  3.03380607434824582924e+01, /* 0x403E568B, 0x261D5190 */
230sb2  =  3.25792512996573918826e+02, /* 0x40745CAE, 0x221B9F0A */
231sb3  =  1.53672958608443695994e+03, /* 0x409802EB, 0x189D5118 */
232sb4  =  3.19985821950859553908e+03, /* 0x40A8FFB7, 0x688C246A */
233sb5  =  2.55305040643316442583e+03, /* 0x40A3F219, 0xCEDF3BE6 */
234sb6  =  4.74528541206955367215e+02, /* 0x407DA874, 0xE79FE763 */
235sb7  = -2.24409524465858183362e+01; /* 0xC03670E2, 0x42712D62 */
236
237#ifdef __STDC__
238        double erf(double x) 
239#else
240        double erf(x) 
241        double x;
242#endif
243{
244        __int32_t hx,ix,i;
245        double R,S,P,Q,s,y,z,r;
246        GET_HIGH_WORD(hx,x);
247        ix = hx&0x7fffffff;
248        if(ix>=0x7ff00000) {            /* erf(nan)=nan */
249            i = ((__uint32_t)hx>>31)<<1;
250            return (double)(1-i)+one/x; /* erf(+-inf)=+-1 */
251        }
252
253        if(ix < 0x3feb0000) {           /* |x|<0.84375 */
254            if(ix < 0x3e300000) {       /* |x|<2**-28 */
255                if (ix < 0x00800000) 
256                    return 0.125*(8.0*x+efx8*x);  /*avoid underflow */
257                return x + efx*x;
258            }
259            z = x*x;
260            r = pp0+z*(pp1+z*(pp2+z*(pp3+z*pp4)));
261            s = one+z*(qq1+z*(qq2+z*(qq3+z*(qq4+z*qq5))));
262            y = r/s;
263            return x + x*y;
264        }
265        if(ix < 0x3ff40000) {           /* 0.84375 <= |x| < 1.25 */
266            s = fabs(x)-one;
267            P = pa0+s*(pa1+s*(pa2+s*(pa3+s*(pa4+s*(pa5+s*pa6)))));
268            Q = one+s*(qa1+s*(qa2+s*(qa3+s*(qa4+s*(qa5+s*qa6)))));
269            if(hx>=0) return erx + P/Q; else return -erx - P/Q;
270        }
271        if (ix >= 0x40180000) {         /* inf>|x|>=6 */
272            if(hx>=0) return one-tiny; else return tiny-one;
273        }
274        x = fabs(x);
275        s = one/(x*x);
276        if(ix< 0x4006DB6E) {    /* |x| < 1/0.35 */
277            R=ra0+s*(ra1+s*(ra2+s*(ra3+s*(ra4+s*(
278                                ra5+s*(ra6+s*ra7))))));
279            S=one+s*(sa1+s*(sa2+s*(sa3+s*(sa4+s*(
280                                sa5+s*(sa6+s*(sa7+s*sa8)))))));
281        } else {        /* |x| >= 1/0.35 */
282            R=rb0+s*(rb1+s*(rb2+s*(rb3+s*(rb4+s*(
283                                rb5+s*rb6)))));
284            S=one+s*(sb1+s*(sb2+s*(sb3+s*(sb4+s*(
285                                sb5+s*(sb6+s*sb7))))));
286        }
287        z  = x; 
288        SET_LOW_WORD(z,0);
289        r  =  __ieee754_exp(-z*z-0.5625)*__ieee754_exp((z-x)*(z+x)+R/S);
290        if(hx>=0) return one-r/x; else return  r/x-one;
291}
292
293#ifdef __STDC__
294        double erfc(double x) 
295#else
296        double erfc(x) 
297        double x;
298#endif
299{
300        __int32_t hx,ix;
301        double R,S,P,Q,s,y,z,r;
302        GET_HIGH_WORD(hx,x);
303        ix = hx&0x7fffffff;
304        if(ix>=0x7ff00000) {                    /* erfc(nan)=nan */
305                                                /* erfc(+-inf)=0,2 */
306            return (double)(((__uint32_t)hx>>31)<<1)+one/x;
307        }
308
309        if(ix < 0x3feb0000) {           /* |x|<0.84375 */
310            if(ix < 0x3c700000)         /* |x|<2**-56 */
311                return one-x;
312            z = x*x;
313            r = pp0+z*(pp1+z*(pp2+z*(pp3+z*pp4)));
314            s = one+z*(qq1+z*(qq2+z*(qq3+z*(qq4+z*qq5))));
315            y = r/s;
316            if(hx < 0x3fd00000) {       /* x<1/4 */
317                return one-(x+x*y);
318            } else {
319                r = x*y;
320                r += (x-half);
321                return half - r ;
322            }
323        }
324        if(ix < 0x3ff40000) {           /* 0.84375 <= |x| < 1.25 */
325            s = fabs(x)-one;
326            P = pa0+s*(pa1+s*(pa2+s*(pa3+s*(pa4+s*(pa5+s*pa6)))));
327            Q = one+s*(qa1+s*(qa2+s*(qa3+s*(qa4+s*(qa5+s*qa6)))));
328            if(hx>=0) {
329                z  = one-erx; return z - P/Q; 
330            } else {
331                z = erx+P/Q; return one+z;
332            }
333        }
334        if (ix < 0x403c0000) {          /* |x|<28 */
335            x = fabs(x);
336            s = one/(x*x);
337            if(ix< 0x4006DB6D) {        /* |x| < 1/.35 ~ 2.857143*/
338                R=ra0+s*(ra1+s*(ra2+s*(ra3+s*(ra4+s*(
339                                ra5+s*(ra6+s*ra7))))));
340                S=one+s*(sa1+s*(sa2+s*(sa3+s*(sa4+s*(
341                                sa5+s*(sa6+s*(sa7+s*sa8)))))));
342            } else {                    /* |x| >= 1/.35 ~ 2.857143 */
343                if(hx<0&&ix>=0x40180000) return two-tiny;/* x < -6 */
344                R=rb0+s*(rb1+s*(rb2+s*(rb3+s*(rb4+s*(
345                                rb5+s*rb6)))));
346                S=one+s*(sb1+s*(sb2+s*(sb3+s*(sb4+s*(
347                                sb5+s*(sb6+s*sb7))))));
348            }
349            z  = x;
350            SET_LOW_WORD(z,0);
351            r  =  __ieee754_exp(-z*z-0.5625)*
352                        __ieee754_exp((z-x)*(z+x)+R/S);
353            if(hx>0) return r/x; else return two-r/x;
354        } else {
355            if(hx>0) return tiny*tiny; else return two-tiny;
356        }
357}
358
359#endif /* _DOUBLE_IS_32BITS */
Note: See TracBrowser for help on using the repository browser.