# source:trunk/sys/libm/e_jn.c@1

Last change on this file since 1 was 1, checked in by alain, 6 years ago

First import

File size: 7.1 KB
Line
1
2/* @(#)e_jn.c 5.1 93/09/24 */
3/*
4 * ====================================================
6 *
7 * Developed at SunPro, a Sun Microsystems, Inc. business.
8 * Permission to use, copy, modify, and distribute this
9 * software is freely granted, provided that this notice
10 * is preserved.
11 * ====================================================
12 */
13
14/*
15 * __ieee754_jn(n, x), __ieee754_yn(n, x)
16 * floating point Bessel's function of the 1st and 2nd kind
17 * of order n
18 *
19 * Special cases:
20 *      y0(0)=y1(0)=yn(n,0) = -inf with division by zero signal;
21 *      y0(-ve)=y1(-ve)=yn(n,-ve) are NaN with invalid signal.
22 * Note 2. About jn(n,x), yn(n,x)
23 *      For n=0, j0(x) is called,
24 *      for n=1, j1(x) is called,
25 *      for n<x, forward recursion us used starting
26 *      from values of j0(x) and j1(x).
27 *      for n>x, a continued fraction approximation to
28 *      j(n,x)/j(n-1,x) is evaluated and then backward
29 *      recursion is used starting from a supposed value
30 *      for j(n,x). The resulting value of j(0,x) is
31 *      compared with the actual value to correct the
32 *      supposed value of j(n,x).
33 *
34 *      yn(n,x) is similar in all respects, except
35 *      that forward recursion is used for all
36 *      values of n>1.
37 *
38 */
39
40#include <libm/fdlibm.h>
41
42#ifdef __STDC__
43static const double
44#else
45static double
46#endif
47invsqrtpi=  5.64189583547756279280e-01, /* 0x3FE20DD7, 0x50429B6D */
48two   =  2.00000000000000000000e+00, /* 0x40000000, 0x00000000 */
49one   =  1.00000000000000000000e+00; /* 0x3FF00000, 0x00000000 */
50
51static double zero  =  0.00000000000000000000e+00;
52
53#ifdef __STDC__
54        double __ieee754_jn(int n, double x)
55#else
56        double __ieee754_jn(n,x)
57        int n; double x;
58#endif
59{
60        int i,n0,hx,ix,lx, sgn;
61        double a, b, temp=0, di;
62        double z, w;
63
64    /* J(-n,x) = (-1)^n * J(n, x), J(n, -x) = (-1)^n * J(n, x)
65     * Thus, J(-n,x) = J(n,-x)
66     */
67        n0 = 1^((*(int*)&one)>>29);
68        hx = *(n0+(int*)&x);
69        ix = 0x7fffffff&hx;
70        lx = *(1-n0+(int*)&x);
71    /* if J(n,NaN) is NaN */
72        if((ix|((unsigned)(lx|-lx))>>31)>0x7ff00000) return x+x;
73        if(n<0){
74                n = -n;
75                x = -x;
76                hx ^= 0x80000000;
77        }
78        if(n==0) return(__ieee754_j0(x));
79        if(n==1) return(__ieee754_j1(x));
80        sgn = (n&1)&(hx>>31);   /* even n -- 0, odd n -- sign(x) */
81        x = fabs(x);
82        if((ix|lx)==0||ix>=0x7ff00000)  /* if x is 0 or inf */
83            b = zero;
84        else if((double)n<=x) {
85                /* Safe to use J(n+1,x)=2n/x *J(n,x)-J(n-1,x) */
86            if(ix>=0x52D00000) { /* x > 2**302 */
87    /* (x >> n**2)
88     *      Jn(x) = cos(x-(2n+1)*pi/4)*sqrt(2/x*pi)
89     *      Yn(x) = sin(x-(2n+1)*pi/4)*sqrt(2/x*pi)
90     *      Let s=sin(x), c=cos(x),
91     *          xn=x-(2n+1)*pi/4, sqt2 = sqrt(2),then
92     *
93     *             n    sin(xn)*sqt2    cos(xn)*sqt2
94     *          ----------------------------------
95     *             0     s-c             c+s
96     *             1    -s-c            -c+s
97     *             2    -s+c            -c-s
98     *             3     s+c             c-s
99     */
100                switch(n&3) {
101                    case 0: temp =  cos(x)+sin(x); break;
102                    case 1: temp = -cos(x)+sin(x); break;
103                    case 2: temp = -cos(x)-sin(x); break;
104                    case 3: temp =  cos(x)-sin(x); break;
105                }
106                b = invsqrtpi*temp/sqrt(x);
107            } else {
108                a = __ieee754_j0(x);
109                b = __ieee754_j1(x);
110                for(i=1;i<n;i++){
111                    temp = b;
112                    b = b*((double)(i+i)/x) - a; /* avoid underflow */
113                    a = temp;
114                }
115            }
116        } else {
117            if(ix<0x3e100000) { /* x < 2**-29 */
118    /* x is tiny, return the first Taylor expansion of J(n,x)
119     * J(n,x) = 1/n!*(x/2)^n  - ...
120     */
121                if(n>33)        /* underflow */
122                    b = zero;
123                else {
124                    temp = x*0.5; b = temp;
125                    for (a=one,i=2;i<=n;i++) {
126                        a *= (double)i;         /* a = n! */
127                        b *= temp;              /* b = (x/2)^n */
128                    }
129                    b = b/a;
130                }
131            } else {
132                /* use backward recurrence */
133                /*                      x      x^2      x^2
134                 *  J(n,x)/J(n-1,x) =  ----   ------   ------   .....
135                 *                      2n  - 2(n+1) - 2(n+2)
136                 *
137                 *                      1      1        1
138                 *  (for large x)   =  ----  ------   ------   .....
139                 *                      2n   2(n+1)   2(n+2)
140                 *                      -- - ------ - ------ -
141                 *                       x     x         x
142                 *
143                 * Let w = 2n/x and h=2/x, then the above quotient
144                 * is equal to the continued fraction:
145                 *                  1
146                 *      = -----------------------
147                 *                     1
148                 *         w - -----------------
149                 *                        1
150                 *              w+h - ---------
151                 *                     w+2h - ...
152                 *
153                 * To determine how many terms needed, let
154                 * Q(0) = w, Q(1) = w(w+h) - 1,
155                 * Q(k) = (w+k*h)*Q(k-1) - Q(k-2),
156                 * When Q(k) > 1e4      good for single
157                 * When Q(k) > 1e9      good for double
158                 * When Q(k) > 1e17     good for quadruple
159                 */
160            /* determine k */
161                double t,v;
162                double q0,q1,h,tmp; int k,m;
163                w  = (n+n)/(double)x; h = 2.0/(double)x;
164                q0 = w;  z = w+h; q1 = w*z - 1.0; k=1;
165                while(q1<1.0e9) {
166                        k += 1; z += h;
167                        tmp = z*q1 - q0;
168                        q0 = q1;
169                        q1 = tmp;
170                }
171                m = n+n;
172                for(t=zero, i = 2*(n+k); i>=m; i -= 2) t = one/(i/x-t);
173                a = t;
174                b = one;
175                /*  estimate log((2/x)^n*n!) = n*log(2/x)+n*ln(n)
176                 *  Hence, if n*(log(2n/x)) > ...
177                 *  single 8.8722839355e+01
178                 *  double 7.09782712893383973096e+02
179                 *  long double 1.1356523406294143949491931077970765006170e+04
180                 *  then recurrent value may overflow and the result is
181                 *  likely underflow to zero
182                 */
183                tmp = n;
184                v = two/x;
185                tmp = tmp*__ieee754_log(fabs(v*tmp));
186                if(tmp<7.09782712893383973096e+02) {
187                    for(i=n-1,di=(double)(i+i);i>0;i--){
188                        temp = b;
189                        b *= di;
190                        b  = b/x - a;
191                        a = temp;
192                        di -= two;
193                    }
194                } else {
195                    for(i=n-1,di=(double)(i+i);i>0;i--){
196                        temp = b;
197                        b *= di;
198                        b  = b/x - a;
199                        a = temp;
200                        di -= two;
201                    /* scale b to avoid spurious overflow */
202                        if(b>1e100) {
203                            a /= b;
204                            t /= b;
205                            b  = one;
206                        }
207                    }
208                }
209                b = (t*__ieee754_j0(x)/b);
210            }
211        }
212        if(sgn==1) return -b; else return b;
213}
214
215#ifdef __STDC__
216        double __ieee754_yn(int n, double x)
217#else
218        double __ieee754_yn(n,x)
219        int n; double x;
220#endif
221{
222        int i,n0,hx,ix,lx;
223        int sign;
224        double a, b, temp=0;
225
226        n0 = 1^((*(int*)&one)>>29);
227        hx = *(n0+(int*)&x);
228        ix = 0x7fffffff&hx;
229        lx = *(1-n0+(int*)&x);
230    /* if Y(n,NaN) is NaN */
231        if((ix|((unsigned)(lx|-lx))>>31)>0x7ff00000) return x+x;
232        if((ix|lx)==0) return -one/zero;
233        if(hx<0) return zero/zero;
234        sign = 1;
235        if(n<0){
236                n = -n;
237                sign = 1 - ((n&1)<<2);
238        }
239        if(n==0) return(__ieee754_y0(x));
240        if(n==1) return(sign*__ieee754_y1(x));
241        if(ix==0x7ff00000) return zero;
242        if(ix>=0x52D00000) { /* x > 2**302 */
243    /* (x >> n**2)
244     *      Jn(x) = cos(x-(2n+1)*pi/4)*sqrt(2/x*pi)
245     *      Yn(x) = sin(x-(2n+1)*pi/4)*sqrt(2/x*pi)
246     *      Let s=sin(x), c=cos(x),
247     *          xn=x-(2n+1)*pi/4, sqt2 = sqrt(2),then
248     *
249     *             n    sin(xn)*sqt2    cos(xn)*sqt2
250     *          ----------------------------------
251     *             0     s-c             c+s
252     *             1    -s-c            -c+s
253     *             2    -s+c            -c-s
254     *             3     s+c             c-s
255     */
256                switch(n&3) {
257                    case 0: temp =  sin(x)-cos(x); break;
258                    case 1: temp = -sin(x)-cos(x); break;
259                    case 2: temp = -sin(x)+cos(x); break;
260                    case 3: temp =  sin(x)+cos(x); break;
261                }
262                b = invsqrtpi*temp/sqrt(x);
263        } else {
264            a = __ieee754_y0(x);
265            b = __ieee754_y1(x);
266        /* quit if b is -inf */
267            for(i=1;i<n && ((unsigned int)(*(n0+(int*)&b))!= 0xfff00000);i++){
268                temp = b;
269                b = ((double)(i+i)/x)*b - a;
270                a = temp;
271            }
272        }
273        if(sign>0) return b; else return -b;
274}
Note: See TracBrowser for help on using the repository browser.