source: trunk/sys/libm/e_lgamma_r.c @ 1

Last change on this file since 1 was 1, checked in by alain, 5 years ago

First import

File size: 10.9 KB
Line 
1
2/* @(#)e_lgamma_r.c 5.1 93/09/24 */
3/*
4 * ====================================================
5 * Copyright (C) 1993 by Sun Microsystems, Inc. All rights reserved.
6 *
7 * Developed at SunPro, a Sun Microsystems, Inc. business.
8 * Permission to use, copy, modify, and distribute this
9 * software is freely granted, provided that this notice
10 * is preserved.
11 * ====================================================
12 *
13 */
14
15/* __ieee754_lgamma_r(x, signgamp)
16 * Reentrant version of the logarithm of the Gamma function
17 * with user provide pointer for the sign of Gamma(x).
18 *
19 * Method:
20 *   1. Argument Reduction for 0 < x <= 8
21 *      Since gamma(1+s)=s*gamma(s), for x in [0,8], we may
22 *      reduce x to a number in [1.5,2.5] by
23 *              lgamma(1+s) = log(s) + lgamma(s)
24 *      for example,
25 *              lgamma(7.3) = log(6.3) + lgamma(6.3)
26 *                          = log(6.3*5.3) + lgamma(5.3)
27 *                          = log(6.3*5.3*4.3*3.3*2.3) + lgamma(2.3)
28 *   2. Polynomial approximation of lgamma around its
29 *      minimun ymin=1.461632144968362245 to maintain monotonicity.
30 *      On [ymin-0.23, ymin+0.27] (i.e., [1.23164,1.73163]), use
31 *              Let z = x-ymin;
32 *              lgamma(x) = -1.214862905358496078218 + z^2*poly(z)
33 *      where
34 *              poly(z) is a 14 degree polynomial.
35 *   2. Rational approximation in the primary interval [2,3]
36 *      We use the following approximation:
37 *              s = x-2.0;
38 *              lgamma(x) = 0.5*s + s*P(s)/Q(s)
39 *      with accuracy
40 *              |P/Q - (lgamma(x)-0.5s)| < 2**-61.71
41 *      Our algorithms are based on the following observation
42 *
43 *                             zeta(2)-1    2    zeta(3)-1    3
44 * lgamma(2+s) = s*(1-Euler) + --------- * s  -  --------- * s  + ...
45 *                                 2                 3
46 *
47 *      where Euler = 0.5771... is the Euler constant, which is very
48 *      close to 0.5.
49 *
50 *   3. For x>=8, we have
51 *      lgamma(x)~(x-0.5)log(x)-x+0.5*log(2pi)+1/(12x)-1/(360x**3)+....
52 *      (better formula:
53 *         lgamma(x)~(x-0.5)*(log(x)-1)-.5*(log(2pi)-1) + ...)
54 *      Let z = 1/x, then we approximation
55 *              f(z) = lgamma(x) - (x-0.5)(log(x)-1)
56 *      by
57 *                                  3       5             11
58 *              w = w0 + w1*z + w2*z  + w3*z  + ... + w6*z
59 *      where
60 *              |w - f(z)| < 2**-58.74
61 *             
62 *   4. For negative x, since (G is gamma function)
63 *              -x*G(-x)*G(x) = pi/sin(pi*x),
64 *      we have
65 *              G(x) = pi/(sin(pi*x)*(-x)*G(-x))
66 *      since G(-x) is positive, sign(G(x)) = sign(sin(pi*x)) for x<0
67 *      Hence, for x<0, signgam = sign(sin(pi*x)) and
68 *              lgamma(x) = log(|Gamma(x)|)
69 *                        = log(pi/(|x*sin(pi*x)|)) - lgamma(-x);
70 *      Note: one should avoid compute pi*(-x) directly in the
71 *            computation of sin(pi*(-x)).
72 *             
73 *   5. Special Cases
74 *              lgamma(2+s) ~ s*(1-Euler) for tiny s
75 *              lgamma(1)=lgamma(2)=0
76 *              lgamma(x) ~ -log(x) for tiny x
77 *              lgamma(0) = lgamma(inf) = inf
78 *              lgamma(-integer) = +-inf
79 *     
80 */
81
82#include <libm/fdlibm.h>
83
84#ifdef __STDC__
85static const double 
86#else
87static double 
88#endif
89two52=  4.50359962737049600000e+15, /* 0x43300000, 0x00000000 */
90half=  5.00000000000000000000e-01, /* 0x3FE00000, 0x00000000 */
91one =  1.00000000000000000000e+00, /* 0x3FF00000, 0x00000000 */
92pi  =  3.14159265358979311600e+00, /* 0x400921FB, 0x54442D18 */
93a0  =  7.72156649015328655494e-02, /* 0x3FB3C467, 0xE37DB0C8 */
94a1  =  3.22467033424113591611e-01, /* 0x3FD4A34C, 0xC4A60FAD */
95a2  =  6.73523010531292681824e-02, /* 0x3FB13E00, 0x1A5562A7 */
96a3  =  2.05808084325167332806e-02, /* 0x3F951322, 0xAC92547B */
97a4  =  7.38555086081402883957e-03, /* 0x3F7E404F, 0xB68FEFE8 */
98a5  =  2.89051383673415629091e-03, /* 0x3F67ADD8, 0xCCB7926B */
99a6  =  1.19270763183362067845e-03, /* 0x3F538A94, 0x116F3F5D */
100a7  =  5.10069792153511336608e-04, /* 0x3F40B6C6, 0x89B99C00 */
101a8  =  2.20862790713908385557e-04, /* 0x3F2CF2EC, 0xED10E54D */
102a9  =  1.08011567247583939954e-04, /* 0x3F1C5088, 0x987DFB07 */
103a10 =  2.52144565451257326939e-05, /* 0x3EFA7074, 0x428CFA52 */
104a11 =  4.48640949618915160150e-05, /* 0x3F07858E, 0x90A45837 */
105tc  =  1.46163214496836224576e+00, /* 0x3FF762D8, 0x6356BE3F */
106tf  = -1.21486290535849611461e-01, /* 0xBFBF19B9, 0xBCC38A42 */
107/* tt = -(tail of tf) */
108tt  = -3.63867699703950536541e-18, /* 0xBC50C7CA, 0xA48A971F */
109t0  =  4.83836122723810047042e-01, /* 0x3FDEF72B, 0xC8EE38A2 */
110t1  = -1.47587722994593911752e-01, /* 0xBFC2E427, 0x8DC6C509 */
111t2  =  6.46249402391333854778e-02, /* 0x3FB08B42, 0x94D5419B */
112t3  = -3.27885410759859649565e-02, /* 0xBFA0C9A8, 0xDF35B713 */
113t4  =  1.79706750811820387126e-02, /* 0x3F9266E7, 0x970AF9EC */
114t5  = -1.03142241298341437450e-02, /* 0xBF851F9F, 0xBA91EC6A */
115t6  =  6.10053870246291332635e-03, /* 0x3F78FCE0, 0xE370E344 */
116t7  = -3.68452016781138256760e-03, /* 0xBF6E2EFF, 0xB3E914D7 */
117t8  =  2.25964780900612472250e-03, /* 0x3F6282D3, 0x2E15C915 */
118t9  = -1.40346469989232843813e-03, /* 0xBF56FE8E, 0xBF2D1AF1 */
119t10 =  8.81081882437654011382e-04, /* 0x3F4CDF0C, 0xEF61A8E9 */
120t11 = -5.38595305356740546715e-04, /* 0xBF41A610, 0x9C73E0EC */
121t12 =  3.15632070903625950361e-04, /* 0x3F34AF6D, 0x6C0EBBF7 */
122t13 = -3.12754168375120860518e-04, /* 0xBF347F24, 0xECC38C38 */
123t14 =  3.35529192635519073543e-04, /* 0x3F35FD3E, 0xE8C2D3F4 */
124u0  = -7.72156649015328655494e-02, /* 0xBFB3C467, 0xE37DB0C8 */
125u1  =  6.32827064025093366517e-01, /* 0x3FE4401E, 0x8B005DFF */
126u2  =  1.45492250137234768737e+00, /* 0x3FF7475C, 0xD119BD6F */
127u3  =  9.77717527963372745603e-01, /* 0x3FEF4976, 0x44EA8450 */
128u4  =  2.28963728064692451092e-01, /* 0x3FCD4EAE, 0xF6010924 */
129u5  =  1.33810918536787660377e-02, /* 0x3F8B678B, 0xBF2BAB09 */
130v1  =  2.45597793713041134822e+00, /* 0x4003A5D7, 0xC2BD619C */
131v2  =  2.12848976379893395361e+00, /* 0x40010725, 0xA42B18F5 */
132v3  =  7.69285150456672783825e-01, /* 0x3FE89DFB, 0xE45050AF */
133v4  =  1.04222645593369134254e-01, /* 0x3FBAAE55, 0xD6537C88 */
134v5  =  3.21709242282423911810e-03, /* 0x3F6A5ABB, 0x57D0CF61 */
135s0  = -7.72156649015328655494e-02, /* 0xBFB3C467, 0xE37DB0C8 */
136s1  =  2.14982415960608852501e-01, /* 0x3FCB848B, 0x36E20878 */
137s2  =  3.25778796408930981787e-01, /* 0x3FD4D98F, 0x4F139F59 */
138s3  =  1.46350472652464452805e-01, /* 0x3FC2BB9C, 0xBEE5F2F7 */
139s4  =  2.66422703033638609560e-02, /* 0x3F9B481C, 0x7E939961 */
140s5  =  1.84028451407337715652e-03, /* 0x3F5E26B6, 0x7368F239 */
141s6  =  3.19475326584100867617e-05, /* 0x3F00BFEC, 0xDD17E945 */
142r1  =  1.39200533467621045958e+00, /* 0x3FF645A7, 0x62C4AB74 */
143r2  =  7.21935547567138069525e-01, /* 0x3FE71A18, 0x93D3DCDC */
144r3  =  1.71933865632803078993e-01, /* 0x3FC601ED, 0xCCFBDF27 */
145r4  =  1.86459191715652901344e-02, /* 0x3F9317EA, 0x742ED475 */
146r5  =  7.77942496381893596434e-04, /* 0x3F497DDA, 0xCA41A95B */
147r6  =  7.32668430744625636189e-06, /* 0x3EDEBAF7, 0xA5B38140 */
148w0  =  4.18938533204672725052e-01, /* 0x3FDACFE3, 0x90C97D69 */
149w1  =  8.33333333333329678849e-02, /* 0x3FB55555, 0x5555553B */
150w2  = -2.77777777728775536470e-03, /* 0xBF66C16C, 0x16B02E5C */
151w3  =  7.93650558643019558500e-04, /* 0x3F4A019F, 0x98CF38B6 */
152w4  = -5.95187557450339963135e-04, /* 0xBF4380CB, 0x8C0FE741 */
153w5  =  8.36339918996282139126e-04, /* 0x3F4B67BA, 0x4CDAD5D1 */
154w6  = -1.63092934096575273989e-03; /* 0xBF5AB89D, 0x0B9E43E4 */
155
156static double zero=  0.00000000000000000000e+00;
157
158#ifdef __STDC__
159        static double sin_pi(double x)
160#else
161        static double sin_pi(x)
162        double x;
163#endif
164{
165        double y,z;
166        int n,n0,ix;
167
168        n0 = ((*(int*)&one)>>29)^1;
169        ix = 0x7fffffff&(*(n0+(int*)&x));
170
171        if(ix<0x3fd00000) return __kernel_sin(pi*x,zero,0);
172        y = -x;         /* x is assume negative */
173
174    /*
175     * argument reduction, make sure inexact flag not raised if input
176     * is an integer
177     */
178        z = floor(y);
179        if(z!=y) {                              /* inexact anyway */
180            y  *= 0.5;
181            y   = 2.0*(y - floor(y));           /* y = |x| mod 2.0 */
182            n   = (int) (y*4.0);
183        } else {
184            if(ix>=0x43400000) {
185                y = zero; n = 0;                 /* y must be even */
186            } else {
187                if(ix<0x43300000) z = y+two52;  /* exact */
188                n   = (*(1+(int*)&z))&1;        /* lower word of z */
189                y  = n;
190                n<<= 2;
191            }
192        }
193        switch (n) {
194            case 0:   y =  __kernel_sin(pi*y,zero,0); break;
195            case 1:   
196            case 2:   y =  __kernel_cos(pi*(0.5-y),zero); break;
197            case 3: 
198            case 4:   y =  __kernel_sin(pi*(one-y),zero,0); break;
199            case 5:
200            case 6:   y = -__kernel_cos(pi*(y-1.5),zero); break;
201            default:  y =  __kernel_sin(pi*(y-2.0),zero,0); break;
202            }
203        return -y;
204}
205
206
207#ifdef __STDC__
208        double __ieee754_lgamma_r(double x, int *signgamp)
209#else
210        double __ieee754_lgamma_r(x,signgamp)
211        double x; int *signgamp;
212#endif
213{
214        double t,y,z,nadj = 0,p,p1,p2,p3,q,r,w;
215        int n0,i,hx,lx,ix;
216
217        n0 = ((*(int*)&one)>>29)^1;
218        hx = *(n0+(int*)&x);
219        lx = *(1-n0+(int*)&x);
220
221    /* purge off +-inf, NaN, +-0, and negative arguments */
222        *signgamp = 1;
223        ix = hx&0x7fffffff;
224        if(ix>=0x7ff00000) return x*x;
225        if((ix|lx)==0) return one/zero;
226        if(ix<0x3b900000) {     /* |x|<2**-70, return -log(|x|) */
227            if(hx<0) {
228                *signgamp = -1;
229                return -__ieee754_log(-x);
230            } else return -__ieee754_log(x);
231        }
232        if(hx<0) {
233            if(ix>=0x43300000)  /* |x|>=2**52, must be -integer */
234                return one/zero;
235            t = sin_pi(x);
236            if(t==zero) return one/zero; /* -integer */
237            nadj = __ieee754_log(pi/fabs(t*x));
238            if(t<zero) *signgamp = -1;
239            x = -x;
240        }
241
242    /* purge off 1 and 2 */
243        if((((ix-0x3ff00000)|lx)==0)||(((ix-0x40000000)|lx)==0)) r = 0;
244    /* for x < 2.0 */
245        else if(ix<0x40000000) {
246            if(ix<=0x3feccccc) {        /* lgamma(x) = lgamma(x+1)-log(x) */
247                r = -__ieee754_log(x);
248                if(ix>=0x3FE76944) {y = one-x; i= 0;}
249                else if(ix>=0x3FCDA661) {y= x-(tc-one); i=1;}
250                else {y = x; i=2;}
251            } else {
252                r = zero;
253                if(ix>=0x3FFBB4C3) {y=2.0-x;i=0;} /* [1.7316,2] */
254                else if(ix>=0x3FF3B4C4) {y=x-tc;i=1;} /* [1.23,1.73] */
255                else {y=x-one;i=2;}
256            }
257            switch(i) {
258              case 0:
259                z = y*y;
260                p1 = a0+z*(a2+z*(a4+z*(a6+z*(a8+z*a10))));
261                p2 = z*(a1+z*(a3+z*(a5+z*(a7+z*(a9+z*a11)))));
262                p  = y*p1+p2;
263                r  += (p-0.5*y); break;
264              case 1:
265                z = y*y;
266                w = z*y;
267                p1 = t0+w*(t3+w*(t6+w*(t9 +w*t12)));    /* parallel comp */
268                p2 = t1+w*(t4+w*(t7+w*(t10+w*t13)));
269                p3 = t2+w*(t5+w*(t8+w*(t11+w*t14)));
270                p  = z*p1-(tt-w*(p2+y*p3));
271                r += (tf + p); break;
272              case 2:   
273                p1 = y*(u0+y*(u1+y*(u2+y*(u3+y*(u4+y*u5)))));
274                p2 = one+y*(v1+y*(v2+y*(v3+y*(v4+y*v5))));
275                r += (-0.5*y + p1/p2);
276            }
277        }
278        else if(ix<0x40200000) {                        /* x < 8.0 */
279            i = (int)x;
280            t = zero;
281            y = x-(double)i;
282            p = y*(s0+y*(s1+y*(s2+y*(s3+y*(s4+y*(s5+y*s6))))));
283            q = one+y*(r1+y*(r2+y*(r3+y*(r4+y*(r5+y*r6)))));
284            r = half*y+p/q;
285            z = one;    /* lgamma(1+s) = log(s) + lgamma(s) */
286            switch(i) {
287            case 7: z *= (y+6.0);       /* FALLTHRU */
288            case 6: z *= (y+5.0);       /* FALLTHRU */
289            case 5: z *= (y+4.0);       /* FALLTHRU */
290            case 4: z *= (y+3.0);       /* FALLTHRU */
291            case 3: z *= (y+2.0);       /* FALLTHRU */
292                    r += __ieee754_log(z); break;
293            }
294    /* 8.0 <= x < 2**58 */
295        } else if (ix < 0x43900000) {
296            t = __ieee754_log(x);
297            z = one/x;
298            y = z*z;
299            w = w0+z*(w1+y*(w2+y*(w3+y*(w4+y*(w5+y*w6)))));
300            r = (x-half)*(t-one)+w;
301        } else 
302    /* 2**58 <= x <= inf */
303            r =  x*(__ieee754_log(x)-one);
304        if(hx<0) r = nadj - r;
305        return r;
306}
Note: See TracBrowser for help on using the repository browser.