source: trunk/sys/libm/s_expm1.c @ 1

Last change on this file since 1 was 1, checked in by alain, 5 years ago

First import

File size: 7.3 KB
Line 
1
2/* @(#)s_expm1.c 5.1 93/09/24 */
3/*
4 * ====================================================
5 * Copyright (C) 1993 by Sun Microsystems, Inc. All rights reserved.
6 *
7 * Developed at SunPro, a Sun Microsystems, Inc. business.
8 * Permission to use, copy, modify, and distribute this
9 * software is freely granted, provided that this notice
10 * is preserved.
11 * ====================================================
12 */
13
14/* expm1(x)
15 * Returns exp(x)-1, the exponential of x minus 1.
16 *
17 * Method
18 *   1. Argument reduction:
19 *      Given x, find r and integer k such that
20 *
21 *               x = k*ln2 + r,  |r| <= 0.5*ln2 ~ 0.34658 
22 *
23 *      Here a correction term c will be computed to compensate
24 *      the error in r when rounded to a floating-point number.
25 *
26 *   2. Approximating expm1(r) by a special rational function on
27 *      the interval [0,0.34658]:
28 *      Since
29 *          r*(exp(r)+1)/(exp(r)-1) = 2+ r^2/6 - r^4/360 + ...
30 *      we define R1(r*r) by
31 *          r*(exp(r)+1)/(exp(r)-1) = 2+ r^2/6 * R1(r*r)
32 *      That is,
33 *          R1(r**2) = 6/r *((exp(r)+1)/(exp(r)-1) - 2/r)
34 *                   = 6/r * ( 1 + 2.0*(1/(exp(r)-1) - 1/r))
35 *                   = 1 - r^2/60 + r^4/2520 - r^6/100800 + ...
36 *      We use a special Reme algorithm on [0,0.347] to generate
37 *      a polynomial of degree 5 in r*r to approximate R1. The
38 *      maximum error of this polynomial approximation is bounded
39 *      by 2**-61. In other words,
40 *          R1(z) ~ 1.0 + Q1*z + Q2*z**2 + Q3*z**3 + Q4*z**4 + Q5*z**5
41 *      where   Q1  =  -1.6666666666666567384E-2,
42 *              Q2  =   3.9682539681370365873E-4,
43 *              Q3  =  -9.9206344733435987357E-6,
44 *              Q4  =   2.5051361420808517002E-7,
45 *              Q5  =  -6.2843505682382617102E-9;
46 *      (where z=r*r, and the values of Q1 to Q5 are listed below)
47 *      with error bounded by
48 *          |                  5           |     -61
49 *          | 1.0+Q1*z+...+Q5*z   -  R1(z) | <= 2
50 *          |                              |
51 *     
52 *      expm1(r) = exp(r)-1 is then computed by the following
53 *      specific way which minimize the accumulation rounding error:
54 *                             2     3
55 *                            r     r    [ 3 - (R1 + R1*r/2)  ]
56 *            expm1(r) = r + --- + --- * [--------------------]
57 *                            2     2    [ 6 - r*(3 - R1*r/2) ]
58 *     
59 *      To compensate the error in the argument reduction, we use
60 *              expm1(r+c) = expm1(r) + c + expm1(r)*c
61 *                         ~ expm1(r) + c + r*c
62 *      Thus c+r*c will be added in as the correction terms for
63 *      expm1(r+c). Now rearrange the term to avoid optimization
64 *      screw up:
65 *                      (      2                                    2 )
66 *                      ({  ( r    [ R1 -  (3 - R1*r/2) ]  )  }    r  )
67 *       expm1(r+c)~r - ({r*(--- * [--------------------]-c)-c} - --- )
68 *                      ({  ( 2    [ 6 - r*(3 - R1*r/2) ]  )  }    2  )
69 *                      (                                             )
70 *     
71 *                 = r - E
72 *   3. Scale back to obtain expm1(x):
73 *      From step 1, we have
74 *         expm1(x) = either 2^k*[expm1(r)+1] - 1
75 *                  = or     2^k*[expm1(r) + (1-2^-k)]
76 *   4. Implementation notes:
77 *      (A). To save one multiplication, we scale the coefficient Qi
78 *           to Qi*2^i, and replace z by (x^2)/2.
79 *      (B). To achieve maximum accuracy, we compute expm1(x) by
80 *        (i)   if x < -56*ln2, return -1.0, (raise inexact if x!=inf)
81 *        (ii)  if k=0, return r-E
82 *        (iii) if k=-1, return 0.5*(r-E)-0.5
83 *        (iv)  if k=1 if r < -0.25, return 2*((r+0.5)- E)
84 *                     else          return  1.0+2.0*(r-E);
85 *        (v)   if (k<-2||k>56) return 2^k(1-(E-r)) - 1 (or exp(x)-1)
86 *        (vi)  if k <= 20, return 2^k((1-2^-k)-(E-r)), else
87 *        (vii) return 2^k(1-((E+2^-k)-r))
88 *
89 * Special cases:
90 *      expm1(INF) is INF, expm1(NaN) is NaN;
91 *      expm1(-INF) is -1, and
92 *      for finite argument, only expm1(0)=0 is exact.
93 *
94 * Accuracy:
95 *      according to an error analysis, the error is always less than
96 *      1 ulp (unit in the last place).
97 *
98 * Misc. info.
99 *      For IEEE double
100 *          if x >  7.09782712893383973096e+02 then expm1(x) overflow
101 *
102 * Constants:
103 * The hexadecimal values are the intended ones for the following
104 * constants. The decimal values may be used, provided that the
105 * compiler will convert from decimal to binary accurately enough
106 * to produce the hexadecimal values shown.
107 */
108
109#include <libm/fdlibm.h>
110
111#ifdef __STDC__
112static const double
113#else
114static double
115#endif
116one             = 1.0,
117huge            = 1.0e+300,
118tiny            = 1.0e-300,
119o_threshold     = 7.09782712893383973096e+02,/* 0x40862E42, 0xFEFA39EF */
120ln2_hi          = 6.93147180369123816490e-01,/* 0x3fe62e42, 0xfee00000 */
121ln2_lo          = 1.90821492927058770002e-10,/* 0x3dea39ef, 0x35793c76 */
122invln2          = 1.44269504088896338700e+00,/* 0x3ff71547, 0x652b82fe */
123        /* scaled coefficients related to expm1 */
124Q1  =  -3.33333333333331316428e-02, /* BFA11111 111110F4 */
125Q2  =   1.58730158725481460165e-03, /* 3F5A01A0 19FE5585 */
126Q3  =  -7.93650757867487942473e-05, /* BF14CE19 9EAADBB7 */
127Q4  =   4.00821782732936239552e-06, /* 3ED0CFCA 86E65239 */
128Q5  =  -2.01099218183624371326e-07; /* BE8AFDB7 6E09C32D */
129
130#ifdef __STDC__
131        double expm1(double x)
132#else
133        double expm1(x)
134        double x;
135#endif
136{
137        double y,hi,lo,c=0,t,e,hxs,hfx,r1;
138        int k,xsb,n0;
139        unsigned hx;
140
141        n0 = ((*(int*)&one)>>29)^1;     /* high word index */
142        hx  = *(n0+(unsigned*)&x);      /* high word of x */
143        xsb = hx&0x80000000;            /* sign bit of x */
144        if(xsb==0) y=x; else y= -x;     /* y = |x| */
145        hx &= 0x7fffffff;               /* high word of |x| */
146
147    /* filter out huge and non-finite argument */
148        if(hx >= 0x4043687A) {                  /* if |x|>=56*ln2 */
149            if(hx >= 0x40862E42) {              /* if |x|>=709.78... */
150                if(hx>=0x7ff00000) {
151                    if(((hx&0xfffff)|*(1-n0+(int*)&x))!=0) 
152                         return x+x;     /* NaN */
153                    else return (xsb==0)? x:-1.0;/* exp(+-inf)={inf,-1} */
154                }
155                if(x > o_threshold) return huge*huge; /* overflow */
156            }
157            if(xsb!=0) { /* x < -56*ln2, return -1.0 with inexact */
158                if(x+tiny<0.0)          /* raise inexact */
159                return tiny-one;        /* return -1 */
160            }
161        }
162
163    /* argument reduction */
164        if(hx > 0x3fd62e42) {           /* if  |x| > 0.5 ln2 */ 
165            if(hx < 0x3FF0A2B2) {       /* and |x| < 1.5 ln2 */
166                if(xsb==0)
167                    {hi = x - ln2_hi; lo =  ln2_lo;  k =  1;}
168                else
169                    {hi = x + ln2_hi; lo = -ln2_lo;  k = -1;}
170            } else {
171                k  = invln2*x+((xsb==0)?0.5:-0.5);
172                t  = k;
173                hi = x - t*ln2_hi;      /* t*ln2_hi is exact here */
174                lo = t*ln2_lo;
175            }
176            x  = hi - lo;
177            c  = (hi-x)-lo;
178        } 
179        else if(hx < 0x3c900000) {      /* when |x|<2**-54, return x */
180            t = huge+x; /* return x with inexact flags when x!=0 */
181            return x - (t-(huge+x));   
182        }
183        else k = 0;
184
185    /* x is now in primary range */
186        hfx = 0.5*x;
187        hxs = x*hfx;
188        r1 = one+hxs*(Q1+hxs*(Q2+hxs*(Q3+hxs*(Q4+hxs*Q5))));
189        t  = 3.0-r1*hfx;
190        e  = hxs*((r1-t)/(6.0 - x*t));
191        if(k==0) return x - (x*e-hxs);          /* c is 0 */
192        else {
193            e  = (x*(e-c)-c);
194            e -= hxs;
195            if(k== -1) return 0.5*(x-e)-0.5;
196            if(k==1)
197            { 
198                if(x < -0.25) 
199                  return -2.0*(e-(x+0.5));
200                else         
201                  return  one+2.0*(x-e);
202            }
203            if (k <= -2 || k>56) {   /* suffice to return exp(x)-1 */
204                y = one-(e-x);
205                *(n0+(int*)&y) += (k<<20);      /* add k to y's exponent */
206                return y-one;
207            }
208            t = one;
209            if(k<20) {
210                *(n0+(int*)&t) = 0x3ff00000 - (0x200000>>k);  /* t=1-2^-k */
211                y = t-(e-x);
212                *(n0+(int*)&y) += (k<<20);      /* add k to y's exponent */
213           } else {
214                *(n0+(int*)&t)  = ((0x3ff-k)<<20);      /* 2^-k */
215                y = x-(e+t);
216                y += one;
217                *(n0+(int*)&y) += (k<<20);      /* add k to y's exponent */
218            }
219        }
220        return y;
221}
Note: See TracBrowser for help on using the repository browser.